Curva de Viviani, un estudio a partir de Geogebra y Octave

Abstract

Esta tesis aborda el estudio de la curva de Viviani desde una perspectiva teórico-práctica, combinando métodos analíticos clásicos con herramientas informáticas modernas. En primer lugar, se deriva su parametrización como 𝛼(𝜃) = (𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃), 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃), 2𝑟𝑠𝑒𝑛 (𝜃2)) ; 0 < 𝜃 < 4𝜋 demostrando algebraicamente que todos sus puntos satisfacen simultáneamente las ecuaciones de la esfera : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4r2 y el cilindro : 𝑥2 + 𝑦2 = 2 r 𝑥 . A continuación, se calcula la longitud de arco 𝐿 = 8𝑟 · √2 ∫0𝜋2 √1 - (1 2) · 𝑠𝑒𝑛2𝑢 𝑑𝑢 = 8𝑟 · √2 . 𝐸 (√12) donde 𝐸(𝑘) es la integral elíptica completa de segunda especie; su valor numérico se aproxima con alta precisión a 15,2807911561 r Para validar y comparar resultados, se implementan dos entornos de cálculo: GeoGebra, que permite visualizar la curva en 3D, manipularla con deslizadores y aproximar su longitud mediante sumas de Riemann, alcanzando hasta 5 cifras decimales fiables. GNU Octave, donde un script basado en quadgk y tolerancias estrictas (AbsTol = 10⁻¹², RelTol = 10⁻¹⁰) reproduce la longitud con error relativo inferior a 10⁻¹² y facilita análisis de rendimiento y reproducibilidad. La comparación muestra que GeoGebra ofrece una interfaz intuitiva para la exploración y la enseñanza, mientras que Octave aporta la precisión y flexibilidad necesarias para investigación numérica rigurosa. Los resultados convergen en las primeras cifras significativas, confirmando la validez de la parametrización y del cálculo de longitud tanto en el plano analítico como en el computacional. Finalmente, se discuten las ventajas y limitaciones de cada herramienta, se proponen recomendaciones para su uso combinado en contextos educativos y de investigación, y se plantean líneas futuras, como la extensión de la metodología a otras intersecciones de superficies.